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蒙日圆定理

蒙日圆定理

(纯解析几何证法)

蒙日圆定理的内容:

椭圆的两条切线互相垂直,则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上,称为蒙日圆,该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。

蒙日圆定理

爱投彩票计划群如图,设椭圆的方程是22

221x y a b

+=。两切线PM 和PN 互相垂直,交于点P 。求证:点P 在圆2222x y a b +=+上。

证明:

爱投彩票计划群若两条切线中有一条平行于x 轴时,则另一条必定平行于y 轴,显然前者通过短轴端点,而后者通过长轴端点,其交点P 的坐标只能是:

爱投彩票计划群(),special P a b ±±

它必定在圆2222

x y a b +=+上。

现考察一般情况,两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下: :PM y kx m =+

1:PN y x n k

爱投彩票计划群=-+ 联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P 的坐标为:

()222,1

1n m k nk m P k k -??+ ?++?? 从而P 点距离椭圆中心O 的距离的平方为:

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